线性代数总结

第一章：行列式

第一节：二阶与三阶行列式

一、二元线性方程组与二阶行列式

• 行列式的最终解为数字，所以行列式的本质是一个数字。
• 术语： 行：Row，用$(r_1…r_n)$表示具体行数。 列：Column，用$(c_1…c_n)$表示具体列数。

1.什么是行列式

• 对于二元线性方程组： $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1,\\a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2, \end{cases}$ 可写作： $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}$

• 解： $\begin{cases}x_1=\frac{b_1a_{22}-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\\x_2=\frac{a_{11}b_2-b_1a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\end{cases}$

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第二节：n阶行列式

• n阶行列式，简记为：$det(a_{ij})$，其中数$a_{ij}$称为行列式$det(a_{ij})$的元素。
• 主对角线上（下）的元素全部为0的行列式叫做下（上）三角形行列式。除主对角线元素外其余元素全为0的行列式叫做对角形行列式。

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第三节：行列式的性质

一、类型

• 行和列交换得到的行列式称作转置行列式，如$D=det(a_{ij})$的转置行列式记作$D^T=det(a_{ji})$（或$D’$）。

二、计算行列式

• “$\frac{r_2+r_1}{———}$”的底下是等号，其表示将上一个行列式的第二行上的每一个元素分别加上第三行上对应的元素。 如： $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\frac{r_2+r_1}{———}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}+a_{11}&a_{22}+a_{12}\end{vmatrix}$

三、行列式的性质

• 交换其中的两行（列），行列式改变符号。
• 行列式两行（列）完全相同则此行列式等于零。
• 行列式中的某一行（列）的每个元素有公因子，可将公因子提到行列式外面（当某一行或列元素都为零时k=0，则行列式为零）：$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ka_{21}&ka_{22}\end{vmatrix}\frac{提公因式}{————}k\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}$ (矩阵与常熟相乘则是相当于每一个元素分别于常熟相乘)
• 若行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则行列式等于零。
• 若某行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，如：$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}+a’{12}&a{13}\\a_{21}&a_{22}+a’{22}&a{23}\\a_{31}&a_{32}+a’{32}&a{33}\end{vmatrix}$，则其等于以下两个行列式之和：$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a’{12}&a{13}\\a_{21}&a’{22}&a{23}\\a_{31}&a’{32}&a{33}\end{vmatrix}.$
• 把行列式的某一行（列）的各个元素乘以同一数$k$后分别加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不变：$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\frac{r_2+kr_1}{————}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}+ka_{11}&a_{22}+ka_{12}\end{vmatrix}$

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第四节：行列式按行（列）展开

一、余子式和代数余子式

• $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}$中元素$a_{23}$的余子式和代数余子式分别为$M_{23}$和$A_{23}$： $M_{23}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{44}\end{vmatrix}, A_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-M_{23}.$
• 行列式等于它的任一行（列）的个元素与其对应的代数余子式的乘积之和。
• 行列式按行（列）展开法则：(j=1,2,…,n) $D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+…+a_{nj}A_{nj}=\sum_{k=1}^na_{nj}A_{nj}$

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第五节：克拉默法则

一、定理

• 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组；反之称为非齐次方程组。
• $x_1=x_2=x_3=…=x_n=0$称为零解；不全为零的则称为非零解。
• 如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组只有零解。
• 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零。

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第二章：矩阵

第一节：矩阵的概念

一、概念

• 矩阵不是数字。
• $A=\begin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}}\\ \end{pmatrix}$是矩阵，$a_{ij}$表示矩阵$A$第$i$行第$j$列的元素，矩阵可简记为$A=(a_{ij}){m×n}$或$A=(a{ij}),{m×n}$或$A_{m×n}.$
• 只有一行（列）的矩阵称为行（列）矩阵。
• 两个矩阵行列数分别相等，则称它们是同型的，若同时它们的对应元素相等，则称它们两个矩阵相等。
• 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为$O$。
• 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。

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第二节：矩阵的运算

一、矩阵的加减法

• 都是m×n矩阵时，对应元素分别求和，结果也是m×n矩阵。
• 减法相当于加上“减数”的负矩阵。
• 仅同型矩阵可加。

二、负矩阵

• 所有元素都是原矩阵的对应相反数。

三、矩阵的乘法

1. 与常熟相乘

• 每一个元素与常数相乘。 (行列式则是相当于某一行或一列与常熟相乘)

2. 与矩阵相乘

• 矩阵$A=(a_{ij}){m×s}$和$B=(b{ij}){s×n}$（注意s要求相等）的乘积$C=(c{ij}){m×n}$记为：$C=AB$，其中$c{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+⋯+a_{is}b_{sj}=$

$$\sum_{i=0}^na_{ik}b_{kj}$$

$(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n).$ 也就是前者的行分别和后者的列的数值分别相乘之和。

• 如：$\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}=(10)$,$\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&6&9\\2&4&6\\1&2&3\end{pmatrix}.$
• 如果两个n阶方阵A, B满足AB=BA，则称A与B是可交换的。

四、矩阵的转置

• 将m×n矩阵$A=(a_{ij})_{m×n}$的行和列依次互换位置得到的一个m×n矩阵，称为A的转置矩阵，记为$A^T$或$A’$。

五、方阵的行列式

• 由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各个元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记为|A|。

性质

• $|A^T|=|A|;$
• $|\lambda A|=\lambda^n|A|;$
• $|AB|=|A||B|.$
• 对于n阶方阵总有$|AB|=|BA|=|A||B|.$（尽管一般来说$AB≠BA$）

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第三节：逆矩阵

概念

• 设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得： $AB=BA=E$， 则称方阵A是可逆的，并称B是A的逆矩阵。（实际上它们互为逆矩阵）
• 若A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。
• 设A可逆，记A的逆矩阵为$A^{-1}$，有$AA^{-1}=A^{-1}A=E$

伴随矩阵

• A为n阶方阵，以A的行列式$|A|=det(a_{ij})$中各元素$a_{ij}$的代数余子式$A_{ij}$为元素所构成的方阵（其实就是相对原方阵左上右下对角线为轴线反转）称为方阵A的伴随矩阵，记为$A^*$。

结论

• |A|≠0是A可逆的充要条件。
• $AA^*=A^*A=|A|E.$
  • $A\frac{A^*}{|A|}=E,$
    • $∴A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}(|A|≠0)$

奇异矩阵

• |A|=0，A是奇异方阵；
• |A|≠0，A是非奇异方阵。

性质

• 若A可逆，$(A^{-1})^{-1}=A$。
• 若A可逆，$\lambda≠0$，$\lambda A$可逆，且$(\lambda A)^{-1}=\frac{A^{-1}}{\lambda}$。
• 若A，B同阶，且都分别可逆，则AB可逆（多个也适用）。